Übungen zur Vorlesung ”Analysis auf Mannigfaltigkeiten“ im WS 2002/03 Blatt 1 21. Oktober 2002

1 Sei X ∈ Γ(T M), α ∈ Γ(T^{∗}M), w ∈ Γ(Λ^{k}T^{∗}M). Zeigen Sie, dass

∇_{X}(α⌞w) = (∇_{X}α)⌞w + α⌞(∇_{X}w).

2 Sei ∗ der Hodge-Stern-Operator auf einer orientierten Riemannschen n-dimensionalen Mannigfaltigkeit. Zeigen Sie für ω ∈ Γ(Λ^{k}T^{∗}M) und α ∈ Γ(T^{∗}M)

α⌞ω = ± ∗ (α ∧ ∗ ω).

Bestimmen Sie das Vorzeichen ±.

3 Wir kleben die Seiten eines 8-Ecks wie folgt zusammen (a mit a, b mit b, c mit c, d mit d, so dass die Pfeile in dieselbe Richtung zeigen).

b  a b c d c d a

Wir erhalten eine orientierte kompakte 2-dimensionale Mannigfaltigkeit M (ohne Rand). Berechnen Sie die Euler-Charakteristik χ(M). (Tipp: Triangulieren Sie das Achteck und benutzen Sie die Definition von χ(M, T) der Vorlesung.) Was ist das Geschlecht γ von M? Zeichnen Sie ein Bild von M und skizzieren Sie die Kurven entlang derer verklebt wurde.

Abgabe: möglichst bis Montag, 28.10.02 Bitte geben Sie Ihren Namen auf ihren Lösungen an.

http://www.math.uni-hamburg.de/home/ammann/analysis