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  pdftitle={\"Ubungen Analysis auf Mannigfaltigkeiten},
  pdfauthor={Bernd Ammann},
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\begin{document}

{\large 
    {\bf "Ubungen zur Vorlesung "`Analysis auf Mannigfaltigkeiten"' im  WS 2002/03}

    Blatt 1  \hfill  21.\ Oktober 2002}
\\[-1.5ex] 
\makebox[0mm]{}\hrulefill    
    
\vspace{1ex}

\a Sei $X\in \Gamma(TM)$, $\alpha\in \Gamma(T^*M)$, $w\in \Gamma(\Lambda^k T^*M)$. Zeigen Sie, dass 
  $$\nabla_X (\alpha \llcorner w) = (\nabla_X \alpha) \llcorner w + \alpha \llcorner (\nabla_X w).$$ 

\a Sei $*$ der Hodge-Stern-Operator auf einer orientierten Riemannschen 
$n$-dimensionalen Mannigfaltigkeit.
Zeigen Sie f\"ur $\omega\in \Gamma(\Lambda^kT^*M)$ und $\alpha\in \Gamma(T^*M)$
  $$\alpha\llcorner \omega = \pm  *(\alpha \wedge *\, \omega).$$
Bestimmen Sie das Vorzeichen $\pm$.


\a Wir kleben die Seiten eines 8-Ecks wie folgt zusammen 
($a$ mit $a$, $b$ mit $b$, $c$ mit $c$, $d$ mit $d$, 
so dass die Pfeile in dieselbe Richtung zeigen).

\begin{center}
\psset{unit=4mm,linewidth=2pt,arrowsize=10pt}
\begin{pspicture}(-8,-8)(8,8)
\psline{->}(2,-6)(0,-6)
\psline(0,-6)(-2,-6)

\psline{->}(6,-2)(4,-4)
\psline(4,-4)(2,-6)

\psline{->}(6,-2)(6,0)
\psline(6,0)(6,2)

\psline{->}(6,2)(4,4)
\psline(4,4)(2,6)

\psline{->}(-2,6)(0,6)
\psline(0,6)(2,6)

\psline{->}(-6,2)(-4,4)
\psline(-4,4)(-2,6)

\psline{->}(-6,2)(-6,0)
\psline(-6,0)(-6,-2)
 
\psline{->}(-6,-2)(-4,-4)
\psline(-4,-4)(-2,-6)

\rput(0,7){$b$}
\rput(5,5){$a$}
\rput(7,0){$b$}
\rput(5,-5){$c$}
\rput(0,-7){$d$}
\rput(-5,-5){$c$}
\rput(-7,0){$d$}
\rput(-5,4.2){$a$}
\end{pspicture}
\end{center}

Wir erhalten eine orientierte kompakte 2-dimensionale Mannigfaltigkeit $M$ 
(ohne Rand). Berechnen Sie die Euler-Charakteristik $\chi(M)$. 
(Tipp: Triangulieren Sie das Achteck und benutzen Sie die Definition von 
$\chi(M,T)$ der Vorlesung.) Was ist das Geschlecht $\gamma$ von $M$?
Zeichnen Sie ein Bild von $M$ und skizzieren Sie die Kurven entlang 
derer verklebt wurde.

%\a Sei $(M,g)$ eine Riemannsche Mannigfaltigkeit. Die Metrik $g$
%definiert eine Metrik auf dem Kotangentialb\"undel $T^*M\to M$ 
%(siehe z.B.\ Diffgeo 2, B\"ar, B\"undeltheorie \S 24).
%Berechnen Sie die Kr\"ummung des B\"undels $T^*M\to M$.


\vskip 5mm
\vspace\fill
Abgabe: m\"oglichst bis Montag, 28.10.02\\
Bitte geben Sie Ihren Namen auf ihren L\"osungen an.\\
\texttt{\small http://www.math.uni-hamburg.de/home/ammann/analysis}
\end{document}
















