Übungen zur Vorlesung ”Analysis auf Mannigfaltigkeiten“ im WS 2002/03 Blatt 2 28. Oktober 2002

1 Sei (M, g) eine kompakte riemannsche Mannigfaltigkeit.

(a) Bestimmen Sie C^{∞}(M) ∩ ker Δ, d.h. die 0-Formen in ker Δ.

(b) Sei f ∈ C^{∞}(M) eine Eigenfunktion von Δ, d.h.

Δf = λf

für ein λ ∈ ℝ. Zeigen Sie, dass dann auch df eine Eigenfunktion von Δ ist.

(c) Es gebe eine Konstante C > 0, so dass für alle 1-Formen ω gilt

⟨K^{1}ω, ω⟩ ≥ C⟨ω, ω⟩.

Sei f ∈ C^{∞}(M) eine Eigenfunktion von Δ zu einem Eigenwert λ ≠ 0. Zeigen Sie

λ ≥ C.

2 Sei (M, g) eine Riemannsche Mannigfaltigkeit. Die Metrik g definiert eine Metrik auf dem Kotangentialbündel T^{∗}M → M (siehe z.B. Diffgeo 2, Bär, Bündeltheorie §24). Berechnen Sie die Krümmung des Bündels T^{∗}M → M. Was ist der Krümmungsendomorphisms auf T^{∗}M?

3 Sei (V, g) ein n-dimensionaler euklidischer Vektorraum und W ein (komplexer) Clifford-Modul für (V, g). Sei

d(n) := \begin{cases}2^{n/2} & falls n gerade \\ 2^{(n−1)/2} & falls n ungerade \end{cases}

(a) Zeigen Sie: Die (komlexe) Dimension von W ist durch d(n) teilbar. (Tipp: Nehmen Sie eine ONB (e_{1}, …, e_{n}) von V und nutzen Sie, dass die Endomorphismen e_{i}· : W → W paarweise antikommutieren.)

(b) Konstruieren für n = 1, 2, 3 (und je nach Lust und Laune auch für größere n) möglichst viele Clifford-Moduln der Dimension d(n).

(Bemerkung: Man kann sogar zeigen, dass jeder Clifford-Modul direkte Summe von Clifford-Moduln der Dimension d(n) ist.)

Abgabe: Möglichst Montag, 4.11.02 oder spätestens am darauffolgenden Donnerstag. Bitte geben Sie Ihren Namen auf ihren Lösungen an.

http://www.math.uni-hamburg.de/home/ammann/analysis