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  pdftitle={\"Ubungen Analysis auf Mannigfaltigkeiten},
  pdfauthor={Bernd Ammann},
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\begin{document}

{\large 
    {\bf "Ubungen zur Vorlesung "`Analysis auf Mannigfaltigkeiten"' im  WS 2002/03}

    Blatt 2  \hfill  28.\ Oktober 2002}
\\[-1.5ex] 
\makebox[0mm]{}\hrulefill    
    
\vspace{1ex}

\a Sei $(M,g)$ eine kompakte riemannsche Mannigfaltigkeit.
\begin{enumerate}[(a)]
\item Bestimmen Sie $C^\infty(M)\cap \ker \Delta$, d.h.\ die 
$0$-Formen in $\ker \Delta$.
\item Sei $f\in C^\infty(M)$ eine Eigenfunktion von $\Delta$, d.h.\ 
  $$ \De f = \lambda f$$ 
f\"ur ein $\lambda \in \mR$.
Zeigen Sie, dass dann auch $df$ eine Eigenfunktion von $\De$ ist.
\item Es gebe eine Konstante $C>0$, so dass f\"ur alle $1$-Formen $\om$ gilt
  $$\<\cK^1\om, \om \> \ge C \<\om,\om\>.$$
Sei $f\in C^\infty(M)$ eine Eigenfunktion von $\Delta$ 
zu einem Eigenwert $\lambda\neq 0$.
Zeigen Sie 
  $$\lambda \geq C.$$
\end{enumerate}


\a Sei $(M,g)$ eine Riemannsche Mannigfaltigkeit. Die Metrik $g$
definiert eine Metrik auf dem Kotangentialb\"undel $T^*M\to M$ 
(siehe z.B.\ Diffgeo 2, B\"ar, B\"undeltheorie \S 24).
Berechnen Sie die Kr\"ummung des B\"undels $T^*M\to M$.
Was ist der Kr\"ummungsendomorphisms auf $T^*M$?

\a Sei $(V,g)$ ein $n$-dimensionaler euklidischer Vektorraum 
und $W$ ein (komplexer) Clifford-Modul f\"ur $(V,g)$.
Sei 
  $$d(n):=
    \begin{cases}
      2^{n/2} & \mbox{falls $n$ gerade}\\
      2^{(n-1)/2} & \mbox{falls $n$ ungerade}
    \end{cases}
  $$
\begin{enumerate}[(a)]
\item Zeigen Sie: Die (komlexe) Dimension von $W$ ist durch $d(n)$ teilbar.
(Tipp: Nehmen Sie eine ONB $(e_1,\dots,e_n)$ von $V$ und nutzen Sie, dass die 
Endomorphismen $e_i \cdot :W\to W$ paarweise antikommutieren.)
\item Konstruieren f\"ur $n=1,2,3$ (und je nach Lust und Laune auch 
f\"ur gr\"o\ss{}ere $n$) m\"oglichst viele Clifford-Moduln der 
Dimension $d(n)$.
\end{enumerate}
(Bemerkung: Man kann sogar zeigen, dass jeder Clifford-Modul direkte Summe
von Clifford-Moduln der Dimension $d(n)$ ist.)

%\a Sei $P:\Gamma(V)\to \Gamma(W)$ 
%ein Differentialoperator erster Ordnung mit Hauptsymbol $\si(P)$. 
%Zeigen Sie, dass
%f\"ur alle $s\in \Gamma(V)$, $f\in C^\infty(M)$ gilt
%  $$P(fs)=fP(s)+ \si_{df}(P)(s).$$

\vskip 5mm
\vspace\fill
Abgabe: M\"oglichst Montag, 4.11.02 oder sp\"atestens am darauffolgenden Donnerstag.\\
Bitte geben Sie Ihren Namen auf ihren L\"osungen an.\\
\texttt{\small http://www.math.uni-hamburg.de/home/ammann/analysis}
\end{document}
















