Übungen zur Vorlesung ”Analysis auf Mannigfaltigkeiten“ im WS 2002/03 Blatt 3 4. November 2002

1 Sei φ : T^{n} → T^{n} ein Diffeomorphismus des Standard-Torus. Zeigen, dass für alle k ∈ ℕ:

1. C^{k}(T^{n}) → C^{k}(T^{n}), u ↦ u ∘ φ ist wohldefiniert und stetig.

2. H_{k} → H_{k}, u ↦ u ∘ φ ist wohldefiniert und stetig. (Tipp: Arbeiten Sie mit der zu ∥ · ∥_{k} äquivalenten Norm ∑_{j=0}^{k} ∥\frac{∂^{|α|}}{∂x^{α}} u∥_{0}.)

2 Sei cl : T^{∗}M ⊗ W → W die Clifford-Mulitplikation eines Clifford-Bündels W über einer riemannschen Mannigfaltigkeit (M, g). Berechnen Sie cl^{#} und cl^{#} ∘ cl.

3 Sei W ein Clifford-Modul für den euklidischen Raum ℝ^{n} mit der kanonischen Metrik und der Standard-Basis e_{1}, …, e_{n}. Wir definieren clvol ∈ End(W) durch clvol(w) := e_{1} · . . . · e_{n} · w.

(a) Berechnen Sie clvol^{2}.

(b) Überlegen Sie, ob e_{k} mit clvol kommutiert oder antikommutiert.

(c) Sei n gerade. Zeigen Sie: Dann gibt es ein v_{n} ∈ {1, i}, so dass W mit der folgenden Clifford-Multiplikation ein Clifford-Modul für ℝ^{n+1} ist:

ℝ^{n+1} ⊗ W → W
e_{k} ⊗ w ↦ e_{k} · w ∀k = 1, .., n
e_{n+1} ⊗ w ↦ v_{n} clvol(w).

Bestimmen Sie den Vorfaktor v_{n}.

(d) Sei n ungerade. Zeigen Sie: Der Vektorraum W′ = W ⊕ W versehen mit der folgenden Clifford-Multiplikation, ist ein Clifford-Modul für den euklidischen ℝ^{n+1}

ℝ^{n+1} ⊗ (W ⊕ W) → (W ⊕ W)
e_{k} ⊗ (w_{1}, w_{2}) ↦ (e_{k} · w_{1}, −e_{k} · w_{2}) ∀k = 1, .., n
e_{n+1} ⊗ (w_{1}, w_{2}) ↦ (−w_{2}, w_{1}).

Abgabe: Möglichst Montag, 11.11.02 oder spätestens am darauffolgenden Donnerstag.

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