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  pdftitle={\"Ubungen Analysis auf Mannigfaltigkeiten},
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\begin{document}

{\large 
    {\bf "Ubungen zur Vorlesung "`Analysis auf Mannigfaltigkeiten"'\\
          im  WS 2002/03}

    Blatt 3  \hfill  4.\ November  2002}
\\[-1.5ex] 
\makebox[0mm]{}\hrulefill    
    
\vspace{1ex}

\a
Sei $\phi:T^n\to T^n$ ein Diffeomorphismus des Standard-Torus.
Zeigen, dass f\"ur alle $k\in \mN$: 
\begin{enumerate}
\item $C^k(T^n)\to C^k(T^n),\quad u \mapsto u \circ \phi$ ist 
wohldefiniert und stetig.
\item $H_k\to H_k,\quad u \mapsto u \circ \phi$ ist 
wohldefiniert und stetig. \\
(Tipp: Arbeiten Sie mit der zu $\|\,\cdot\,\|_k$ \"aquivalenten Norm 
$\sum_{j=0}^k \left\|{\pa^{|\al|}\over \pa x^\al} u\right\|_0$.)
%\item Funktioniert der von Ihnen benutzte Beweis auch f\"ur $k\in\mR\ohne \mZ$?
\end{enumerate}

\a Sei $\cl:T^*M\otimes W\to W$ die Clifford-Mulitplikation eines 
Clifford-B\"undels $W$ \"uber einer riemannschen Mannigfaltigkeit $(M,g)$. 
Berechnen Sie $\cl^\#$ und $\cl^\#\circ \cl$.

\a Sei $W$ ein Clifford-Modul f\"ur den euklidischen Raum $\mR^n$ 
mit der kanonischen Metrik und der Standard-Basis $e_1,\dots,e_n$. 
Wir definieren $\clvol\in \End(W)$ durch 
$\clvol(w):= e_1\cdot\ldots\cdot e_n\cdot w$.
\begin{enumerate}[{\rm (a)}]
\item Berechnen Sie $\clvol^2$.
\item \"Uberlegen Sie, ob $e_k$ mit $\clvol$ 
kommutiert oder antikommutiert.
\item Sei $n$ gerade. Zeigen Sie: Dann gibt es ein $v_n\in\{1,i\}$, so dass
$W$ mit der folgenden Clifford-Multiplikation ein Clifford-Modul f\"ur  
$\mR^{n+1}$ ist:
\begin{eqnarray*}
   \mR^{n+1}\otimes W&\to& W\\
     e_k\otimes w&\mapsto& e_k\cdot w \qquad \forall k=1,..,n\\
    e_{n+1}\otimes w & \mapsto & v_n\;\clvol(w).
\end{eqnarray*}
Bestimmen Sie den Vorfaktor $v_n$.
\item Sei $n$ ungerade. Zeigen Sie: Der Vektorraum $W'=W\oplus W$ 
versehen mit der folgenden Clifford-Multiplikation, ist 
ein Clifford-Modul f\"ur den euklidischen $\mR^{n+1}$
\begin{eqnarray*}
   \mR^{n+1}\otimes (W\oplus W) &\to& (W \oplus W)\\
     e_k\otimes (w_1,w_2) &\mapsto& (e_k\cdot w_1,-e_k\cdot w_2) \qquad \forall k=1,..,n\\
    e_{n+1}\otimes (w_1,w_2) & \mapsto & (-w_2,w_1).
\end{eqnarray*}
\end{enumerate}





\vskip 5mm
\vspace\fill
Abgabe: M\"oglichst Montag, 11.11.02 oder sp\"atestens am darauffolgenden Donnerstag.\\
%Bitte geben Sie Ihren Namen auf ihren L\"osungen an.\\
\texttt{\small http://www.math.uni-hamburg.de/home/ammann/analysis}
\end{document}











