Übungen zur Vorlesung ”Analysis auf Mannigfaltigkeiten“ im WS 2002/03 Blatt 4 18. November 2002

1 Sei M = T^{n} = ℝ^{n}/(2πℤ)^{n} der Standard-Torus und W := Λ^{∗}T^{∗}M das Formenbündel. Berechnen Sie das Spektrum des zugehörigen Dirac-Operators.

2 Sei M eine orientierte n-dimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit. Zeigen Sie, dass für jeden glatten Schnitt φ ∈ Γ(W) eines Clifford-Bündels W über M gilt:

D(ω_{ℂ} · φ) = (−1)^{n−1}ω_{ℂ} · (Dφ).

3 Sei M eine n-dimensionale kompakte orientierte Mannigfaltigkeit, k ∈ {0, …, n}.

(a) Zeigen Sie, dass die Schnittform

S : H^{k}(M) × H^{n−k}(M) → ℝ, ([α], [β]) ↦ ∫_{M} α ∧ β

wohldefiniert ist, d.h. für alle Representanten α′ ∈ [α] und β′ ∈ [β] gilt

∫ α′ ∧ β′ = ∫ α ∧ β.

(b) Sei nun n = 2m gerade. Zeigen Sie, dass für k = m dann

S([β], [α]) = (−1)^{m}S([α], [β]).

Abgabe: Möglichst Montag, 25.11.02 oder spätestens am darauf folgenden Donnerstag.

http://www.math.uni-hamburg.de/home/ammann/analysis