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  pdftitle={\"Ubungen Analysis auf Mannigfaltigkeiten},
  pdfauthor={Bernd Ammann},
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\begin{document}

{\large 
    {\bf "Ubungen zur Vorlesung "`Analysis auf Mannigfaltigkeiten"'\\
          im  WS 2002/03}

    Blatt 4  \hfill  18.\ November  2002}
\\[-1.5ex] 
\makebox[0mm]{}\hrulefill    
    
\vspace{1ex}

\a Sei $M=T^n=\mR^n/(2\pi\mZ)^n$ der Standard-Torus und $W:=\Lambda^*T^*M$
das Formenb\"undel. Berechnen Sie das Spektrum des 
zugeh\"origen Dirac-Operators.

\a Sei $M$ eine orientierte $n$-dimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit.
Zeigen Sie, dass f\"ur jeden glatten Schnitt $\phi\in \Gamma(W)$ 
eines Clifford-B\"undels $W$ \"uber $M$ gilt:
  $$D(\om_{\mC}\cdot \phi)= (-1)^{n-1} \om_{\mC}\cdot (D\phi).$$

\a Sei $M$ eine $n$-dimensionale kompakte orientierte Mannigfaltigkeit, 
$k\in\{0,\ldots,n\}$.
\begin{enumerate}[{\rm (a)}]
\item  
Zeigen Sie, dass die Schnittform
  $$S:H^k(M)\times H^{n-k}(M)\to \mR,\qquad ([\al],[\be])\mapsto \int_M \alpha\wedge\beta$$
wohldefiniert ist, d.h. f\"ur alle Representanten 
$\al'\in [\al]$ und $\be'\in [\be]$ gilt 
  $$\int\al'\wedge\be'= \int \al\wedge\be.$$
\item
Sei nun $n=2m$ gerade. Zeigen Sie, dass f\"ur $k=m$ dann
  $$S([\be],[\al])= (-1)^m S([\al],[\be]).$$
\end{enumerate}



\vskip 5mm
\vspace\fill
Abgabe: M\"oglichst Montag, 25.11.02 oder sp\"atestens am darauf 
folgenden Donnerstag.\\
%Bitte geben Sie Ihren Namen auf ihren L\"osungen an.\\
\texttt{\small http://www.math.uni-hamburg.de/home/ammann/analysis}
\end{document}











