Übungen zur Vorlesung ”Analysis auf Mannigfaltigkeiten“ im WS 2002/03 Blatt 6 2. Dezember 2002

1 Sei V ein Vektorbündel über M von Rang k und sei ∇ ein affiner Zusammenhang auf V. Sei E_{m} eine Basis von V_{m}, der Faser von V in m, also in anderen Worten E_{m} ∈ P_{GL}(V) und π(E_{m}) = m. Wir definieren einen Unterraum H_{E_{m}} von T_{E_{m}}P_{GL}(V) wie folgt: Zunächst wählen wir zu X ∈ T_{m}M eine Kurve γ_{X} : (−ε, ε) → M eine glatte Kurve mit γ_{X}(0) = m, γ̇(0) = X. Wir verschieben E_{m} parallel längs γ. Dies definiert eine glatte Kurve γ̃_{X} : (−ε, ε) → P_{GL}(V). Zeigen Sie:

(a) ˙ γ̃_{X}(0) ist unabhängig von der Wahl der Kurve γ_{X}.

(b)

H_{E_{m}} := { ˙γ̃_{X}(0) | X ∈ T_{m}M}

ist eine GL(k, ℝ)-äquivariante Distribution von Horizontalräumen auf P_{GL}(V).

(c) Ist der Zusammenhang metrisch, so liefert die analoge Konstruktion eine SO(k)-äqui-variante Distribution von Horizontalräumen auf P_{SO}(V).

(d) Ist V ein komplexes Vektorbündel von komplexem Rang m = k/2, und ist ∇ ein Zusammenhang auf dem komplexen Vektorbündel V, so liefert die analoge Konstruktion eine U(m)-äquivariante Distribution von Horizontalräumen auf P_{U}(V).

2 Sei M eine n-dimensionale orientierte Riemannsche Mannigfaltigkeit mit einer Spin-Struktur. Zeigen Sie:

(a) Ist n gerade, so gibt es einen Isomorphismus

End(ΣM) → Λ^{∗}T^{∗}M ⊗_{ℝ} ℂ,

der den Zusammenhang erhält.

(b) Ist n ungerade, so gibt es einen Isomorphismus

End(ΣM) → Λ^{even}T^{∗}M ⊗_{ℝ} ℂ,

der den Zusammenhang erhält.

Abgabe: Möglichst Montag, 9.12.02 oder spätestens am darauf folgenden Donnerstag.

http://www.math.uni-hamburg.de/home/ammann/analysis