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  pdftitle={\"Ubungen Analysis auf Mannigfaltigkeiten},
  pdfauthor={Bernd Ammann},
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\begin{document}

{\large 
    {\bf "Ubungen zur Vorlesung "`Analysis auf Mannigfaltigkeiten"'\\
          im  WS 2002/03}

    Blatt 6  \hfill  2.\ Dezember  2002}
\\[-1.5ex] 
\makebox[0mm]{}\hrulefill    
    
\vspace{1ex}

\a 
Sei $V$ ein Vektorb\"undel \"uber $M$ von Rang $k$ und sei $\na$ ein affiner 
Zusammenhang auf $V$. Sei $E_m$ eine Basis von $V_m$, 
der Faser von $V$ in $m$, also in anderen Worten 
$E_m\in P_{GL}(V)$ und $\pi(E_m)=m$.
Wir definieren einen Unterraum $H_{E_m}$ von $T_{E_m} P_{GL}(V)$ wie folgt:
Zun\"achst w\"ahlen wir zu $X\in T_mM$ eine Kurve 
$\ga_X:(-\ep,\ep)\to M$ eine glatte Kurve mit $\ga_X(0)=m$, $\dot\ga(0)=X$.
Wir verschieben $E_m$ parallel l\"angs $\ga$. Dies definiert eine glatte
Kurve ${\ti\ga_X:(-\ep,\ep)\to  P_{GL}(V)}$.
  
Zeigen Sie:
\begin{enumerate}[{\rm (a)}]
\item $\dot{\ti\ga}_X(0)$ ist unabh\"angig von der Wahl der Kurve $\ga_X$.
\item 
    $$H_{E_m}:=\left\{ \dot{\ti\ga}_X(0)\,|\ X\in T_mM \right\}$$
ist eine $GL(k,\mR)$-\"aquivariante Distribution von Horizontalr\"aumen
auf $P_{GL}(V)$.
\item Ist der Zusammenhang metrisch, so liefert die analoge Konstruktion
eine $SO(k)$-\"aquivariante Distribution von Horizontalr\"aumen
auf $P_{SO}(V)$. 
\item Ist $V$ ein komplexes Vektorb\"undel von komplexem Rang $m=k/2$, 
und ist $\na$ ein Zusammenhang auf dem komplexen Vektorb\"undel $V$,
so liefert die analoge Konstruktion
eine $U(m)$-\"aquivariante Distribution von Horizontalr\"aumen
auf $P_{U}(V)$. 
\end{enumerate}


\a 
Sei $M$ eine $n$-dimensionale orientierte Riemannsche Mannigfaltigkeit 
mit einer Spin-Struktur.
Zeigen Sie:
\begin{enumerate}[{\rm (a)}]
\item Ist $n$ gerade, so gibt es einen Isomorphismus
  $$\End(\Si M)\to \La^*T^*M\otimes_\mR \mC,$$
der den Zusammenhang erh\"alt.
\item Ist $n$ ungerade, so gibt es einen Isomorphismus
  $$\End(\Si M)\to \La^{even}T^*M\otimes_\mR \mC,$$
der den Zusammenhang erh\"alt.
\end{enumerate}


\vskip 5mm
\vspace\fill
Abgabe: M\"oglichst Montag, 9.12.02 oder sp\"atestens am darauf 
folgenden Donnerstag.\\
%Bitte geben Sie Ihren Namen auf ihren L\"osungen an.\\
\texttt{\small http://www.math.uni-hamburg.de/home/ammann/analysis}
\end{document}












