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  pdftitle={\"Ubungen Analysis auf Mannigfaltigkeiten},
  pdfauthor={Bernd Ammann},
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\long\def\komment#1{}

\begin{document}

{\large 
    {\bf "Ubungen zur Vorlesung "`Analysis auf Mannigfaltigkeiten"'\\
          im  WS 2002/03}

    Blatt 7  \hfill  12.\ Dezember  2002}
\\[-1.5ex] 
\makebox[0mm]{}\hrulefill    
    
\vspace{1ex}
\a Sei $W$ ein Clifford-B\"undel \"uber der riemannschen Mannigfaltigkeit
$(M,g)$. Sei $D_x:\Gamma(W\boxtimes W)\to \Gamma(W\boxtimes W)$ der 
Dirac-Operator in der 1.~Komponente und  $D_y$ der Dirac-Operator 
in der 2.~Komponente. 
Zeigen Sie:
\begin{enumerate}[{\rm (a)}]
\item Die Norm  
  $$\|\phi\|:= \sqrt{\sum_{i=0}^k\|D_x\phi\|^2_{L^2(W\boxtimes W)} +\sum_{i=0}^k\|D_y\phi\|^2_{L^2(W\boxtimes W)}}$$
ist \"aquivalent zur Sobolev-$k$-Norm auf $W^k(W\boxtimes W)$. 
\item Sei $M=S^1$ und $W=\Lambda^*T^*M$.
Zeigen Sie, dass $D_x+D_y$ einen unendlich-dimensionalen Kern besitzt.
\item Sei $(\phi_i\,|\,i\in\mZ)$ eine Familie von $L^2$-orthonormale 
Eigenspinoren zu $D$ zum Eigenwert $\la_i$, die eine Basis von $L^2(W)$ bilden.
Dann ist $(\phi_i(x)\otimes\phi_j(y)\,|\,i,j\in\mZ)$ eine $L^2$-orthonormale 
Basis von $L^2(W\boxtimes W)$.
\end{enumerate}

\komment{
%% Funktioniert nicht
\a Sei $W$ ein Clifford-B\"undel \"uber der riemannschen Mannigfaltigkeit
$(M,g)$.  
Sei $D_x$ und $D_y$ wie oben. Identifiziere $W$ mit $W^*$ mit Hilfe
der Metrik auf $W$. Sei $k_t\in \Gamma(W\boxtimes W)$ der Intergalkern zu
$e^{-tD^2}$, $t>0$.
Zeigen Sie:
\begin{enumerate}[{\rm (a)}]
\item $(\phi_i(x)\otimes\phi_j(y)\,|\,i,j\in\mZ)$ ist eine $L^2$-orthonormale 
Basis von $L^2(W\boxtimes W)$.
\item Die Reihe 
  $$\sum_{i,j\in \mZ} e^{-t\la_j^2}\phi_i(x)\otimes \phi_j(y)$$
konvergiert f\"ur alle $k\in\mN$ in der $W^k(W\boxtimes W)$-Norm 
gegen $k_t(x,y)$. (Tipp: Nutzen Sie Lemma 4.5 bzw.\ die \"Ubertragung hiervon auf $M\times M$.
\item Leiten Sie
\end{enumerate}
} 
\vskip 5mm
\vspace\fill
Abgabe: bis Mittwoch, 18.12.02 oder sp\"atestens am darauf 
folgenden Donnerstag.\\
%Bitte geben Sie Ihren Namen auf ihren L\"osungen an.\\
\texttt{\small http://www.math.uni-hamburg.de/home/ammann/analysis}
\end{document}












