11.534: Seminar über Partielle Differentialgleichungen

Veranstalter: Reiner Lauterbach und Bernd Ammann

Inhalt: In diesem Seminar wollen wir Methoden zur Lösung von partiellen Differentialgleichungen behandeln, die Variationsmethoden benutzen. Viele wichtige Partielle Differential-Gleichungen in physikalischen und technischen Anwendungen sind Variationsgleichungen eines “Energie”-Funktionals.

Solche Variationsmethoden wurden bereits um 1740 von den Mathematikern Euler und Lagrange eingeführt, und haben sehr fruchtbare Impulse für die klassische Mechanik geliefert. Diese Methoden wurden über viele Jahre hinweg auf immer neue Probleme ausgedehnt.

Wir wollen uns in diesem Seminar zuerst einen Überblick über die wichtigsten Techniken dieses Gebietes erhalten, und uns anschliesßend auf einige Variationsprinzipien spezialisieren, die in den letzten Jahren besonders im Interesse von Mathematikern standen.

Wir wollen hierfür einige Teile des unten zitierten Buches von Struwe behandeln, unter anderem das Kompaktheits-Konzentrations-Prinzip, Ekeland’s Variationsprinzip, periodische Lösungen von nichtlinearen Wellengleichungen, das Mountain Pass Lemma und Störungstheorie.

In der letzten Vorlesungswoche des Wintersemesters wird eine Vorbesprechung stattfinden. Der genaue Termin der Vorbesprechung wird auf der Seite

http://www.math.uni-hamburg.de/home/ammann/pdg-seminar/

bekanntgegeben.

Ziel: Wir wollen klassische und moderne Variationsprinzipien zur Lösung von nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen kennenlernen.

Vorkenntnisse: Im wesentlichen Partielle Differentialgleichungen. Sollten manche Teilnehmer Kenntnisse über Differentialgeometrie, klassische Mechanik (Physik) oder Morsetheorie besitzen, wollen wir auch Anwendungen in diesen Gebieten in die Vorträge einbauen.

Die Vorlesung ist bestens geeignet für StudentInnen, die sich im Bereich der Partiellen Differentialgleichungen spezialisieren wollen. Das Seminar ist aber auch als Ergänzung für Leramtskandidaten und für Studenten der Differentialgeometrie und der Numerik von Partiellen Differentialgleichungen von hohem Wert.

Literatur: Michael Struwe, Variational Methods, Springer, Ergebnisse der Mathematik, Band 34, 1990.