; TeX output 2004.06.24:1717 header=pstricks.proheader=pst-dots.pro#Ihtml: html:[ZIhtml: html:,Ο=sN ff cmbx12UbungenffzurVforlesung"
hSemi-RiemannscheGeometrieݫ\ BerndffAmmann,SS2004UXQ ff cmr12Blatt/10M24.Juni2004 ff҅!$ M
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(t)=(x(t);yn9(t))undunterscheidedieFy al le_xݹ(t)=0und_xݹ(t)6=0,und35verwendedieSubsitutionyË=UR1=u.BerecrhnenSiedieSchnittkrSy ummungvon(HF:;g̽hÎyp1Թ).$ 2Sei9S ן22 cmmi8n;mGl:=
fx2R2n+1;mfjgn92n+1;m=(x;x)
=1g,diesogenannrtesemi-R2iemannscheSphy arffe.ZeigenSie,dassS ן2n;m`einesemi-riemannscrheUntermannigfaltigkeitvon(R2n+1;mf;gn92n+1;m=)ist.Diee induzierteMetriknennenwirgn9.eBerecrhnenSiedenRiemannschenKrSy ummungstensor,dieScrhnittkrSy ummungfSy uralleEbSenenEG270G̽2(S ן2n;m<_;gn9), dieRicci-undSkXalarkry ummrung.Tipp:EBerffechnenDSiedieseKr'y ummungenmitHilfeeinerKarteineinemeinzigenPunkt,und35nutzenSiedanneinSymmetrie-A2rffgument.#y 3Seien*(M̽1;g̽1)und(M̽2;g̽2)semi-RiemannscrheMannigfaltigkeiten.IManverseheM̽1)M̽2mitGderProSdukt-Mannigfaltigkreitsstruktur.ySeii:ٿM̽1M̽2L!Mip!dieGPro jektionaufMidڹ.FSy ur(p;qn9)UR2M̽1jM̽2ist Q{hT߽(p;qI{)GM̽1jM̽2V!URTp]M̽1TqM̽2;V7!UR(d̽1(Vp);d̽2(V))einYIsomorphismrus,Zvermy ogedessenwirT߽(p;qI{)GM̽1CM̽2mitTp]M̽1TqM̽2idenrtizieren.ZSeien nrun(X̽1;X̽2);(Y̽1;Y̽2)UR2T߽(p;qI{)GM̽1ZVM̽2,wrobSeiX̽1;Y̽1V2URTp]M̽1YundX̽2;Y̽2V2URTqM̽2,dannwirddurcrhp~ggn9
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cmex10(X̽1;X̽2);(Y̽1;Y̽2)
:=URg̽1(X̽1;Y̽1)+g̽2(X̽2;Y̽2)(einesemi-RiemannscrheMetrikaufM̽1jM̽2deniert. b!html: html:4(a)Berecrhnen3 SiedenRiemannschenKrSy ummungstensor,38dieRicci-KrSy ummungunddieSkXa-larkrSy ummrung`von(M̽1iuqM̽2;gn9)inTVermenderKrSy ummungsgry oenvon(M̽1;g̽1)und(M̽2;g̽2). html: html: X(b)Zeigen,WSie:,FVallsdieScrhnittkrSy ummungy ,WubSerallaufM̽1[undM̽2nicrht-negativ,Wist,,hsoistaucrhdieSchnittkrSy ummungvon(M ;gn9)>6y ubSerallnicht-negativ.html: html: (c)Gilt$dieAussagein(b)aucrh,$)wenn$wir*" nicrht-negativ-l\durch$*"nicht-pSositiv-l\ Ҕ,$)*" (strikt)pSositiv-l\Vpoderܟ*" (strikt)negativ\Vpersetzen?BewreisenSieoSderwiderlegenSiedurchGe-genrbSeispiele. *#Ihtml: html:[i2 4(Satz_vronSchur)SeiMȹeinesemi-RiemannscheMannigfaltigkeitmitdim*M]3.`EsgebSe eineC ܞ21 ܦ-FVunktionkq:M6!URR,soda ʔK ܞ(E )UR=kg(p)fSy urallepUR2Mundallenicrht-ausgeartetenEbSenenE iURTp]M@.!ZeigenSie,dassdannk:lokXalkronstantist.Tipp:35NutzenSiezuny achstFolgerung9.14,um(rXRJ)(Y ;Z ܞ)V¹:=URrX(R(Y ;Z ܞ)Vp) R(rXY ;Z ܞ)VG R(Y ;rXZ ܞ)VG R(Y ;Z ܞ)rXVzu35bfferechnen.NutzenSiedanndie2.Bianchi-Identity at n(rXRJ)(Y ;Z ܞ)VG+(rYPR)(Z5;X )VG+(rZ8R)(XJg;Yp)V¹=UR0 8X;Y ;Z5;V2URTp]M :WirwerffdendieseIdentity atamDienstag29.6.-zeigen.NehmenSiedannpaarweiseorthogo-nale35XJg;Y ;ZundsetzenSieV¹=URZundW=URYp.sAbgabSe:Donnerstag,1.7.2004imProstfachvonHerrnWVotzkeGebSenySiebitteIhrenNamenaufihrenLy osungenanundheftenSiebittealleBly atterzu-sammen.%