Exercices en Géométrie Différentielle Bernd Ammann, 2005–2006 Feuille 5 20 mars 2006

1 Soit

M := \{(\begin{matrix}x \\ y \\ z \end{matrix}) | x^{2} + y^{2} = z^{2}, 0 < z < 1\} .

Pour α ∈ ℝ, soit Ω_{α} := (0, 1) × (α, α + 2π). Montrer que l’application

ψ_{α} : Ω_{α} → M, (r, φ) ↦ (r cos φ, r sin φ, r)

est une paramétrisation. Donner un atlas fini de M. Calculer ∫_{M} f pour f(x, y, z) = 1, f(x, y, z) = z, f(x, y, z) = x.

2 Soit f : [a, b] → ℝ_{∗}^{+} lisse, est M_{f} la surface de rotation associée à f|_{(a,b)}. Calculer vol(M_{f})

3 Soit

S^{2} := \{(\begin{matrix}x \\ y \\ z \end{matrix}) | x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1\} .

Calculer

(a) ∫_{S^{2}} x

(b) ∫_{S^{2}} x^{2}

(c) ∫_{S^{2}} x^{4}

4 On étudie sur le cylindre

M := \{(\begin{matrix}x \\ y \\ z \end{matrix}) | x^{2} + y^{2} = 1\}

la fonction

f : M → ℝ, f(x, y, z) = e^{−z^{2}}.

Montrer que f est intégrable et calculer ∫_{M} f.

http://www.iecn.u-nancy.fr/∼ammann/geodiffm1