Seminar: Fourier-Analyse, Fourier-Transformation und Distributionen

Prof. Bernd Ammann, Zimmer 119

Inhalt des Seminars

In dem Seminar wollen wir zunächst periodische Funktionen als Reihen darstellen, deren Reihenglieder Sinus- und Kosinus-Funktionen sind. Diese Darstellung modelliert zum Beispiel, dass man einen periodisch schwingenden Prozess, wie zum Beipiel eine Saite, andere Musik-Instrumente oder auch ein Signal in der Radiotechnik in seine Bestandteile verschiedener Frequenz zerlegt. Solche Reihen nennt man Fourierreihen.

Sind die Funktionen nicht mehr periodisch, aber im Unendlichen ausreichend schnell abfallend (bzw. nicht schnell wachsend), so kann man eine ähnliche Konstruktion durchführen, die man Fourier-Transformation nennt. Sie bildet schnell abfallend glatte Funktion Rn-> R auf Funktionen des selben Typs ab.
Führt man sie zweimal durch (mit einer kleinen Modifikation), so erhält man die ursprüngliche Funktion zurück. In der Wellenmechanik oder Quantenphysik kann man hierdurch vom Ortsbild zum Impulsbild und zurück transformieren. Ist ψ:R3->C eine zugehörige Wellenfunktion im Ortsraum, so ist die Fourier-Transformierte von ψ die Wellenfunktion im Impulsraum. Man kann hieraus unter anderem die Heisenbergsche Unschärfe-Relation herleiten, die sich aber zum Beispiel auch in der Akustik bemerkbar macht: Die Frequenzverteilung eines kurzen Tons (sagen wir t=0,1 Sekunden lang) muss eine Mindestbreite von ungefähr 1/t=10 Herz haben.

Funktionen wie x-> eix haben zwar noch eine Fourier-Transformation, diese ist aber keine Funktion im klassischen Sinn mehr, sondern eine Distribution. Die Distributionen ergeben auch eine hilfreiche Verallgemeinerung des Funktionsbegriffs. In diesem verallgemeinerten Raum können zum Beispiel beliebige stetige Funktionen beliebig oft differenziert werden. Dies ist ein starkes Hilfsmittel zur Lösung partieller Differentialgleichungen in der Angewandten Mathematik und Geometrischen Analysis, das in Anwendungen wie der Physik häufig benutzt wird, dort allerdings zumeist ohne die mathematischen Grundlagen vollständig zu entwickeln.

Distributionen sind auch hilfreich, um geeignete Differentialoperatoren zu invertieren, was unter anderem zu Greenschen Funktionen führt. Deren Anwendungen wiederum reichen hinein bis in die Arakelov-Theorie, einem Teilgebiet der Arithmetischen Geometrie.

Teilnehmer(innen)

Das Seminar richtet sich in erster Linie an die Studierenden, die bei mir im Wintersemester die Analysis III gehört haben. Es kann gut als erster Einstieg in eine Bachelor-Arbeit genutzt werden. Das Seminar ist aber auch für andere Studierende offen. Wir erlernen im Seminar Hilfsmittel, die in den meisten Forschungsgebieten der Regensburger Mathematik benutzt werden. Für Studierende des gymnasialen Lehramts ist das Seminar dann zu empfehlen, wenn besonderes Interesse an den oben genannten physikalisch-technischen Anwendungen besteht.

Ort und Zeit:

Di 16.15-18.00 in M101

Programm und Vortragsplan

Anmeldedetails

Vorbesprechung am Donnerstag 6.2., 13:15 Uhr im Sitzungszimmer Mathematik, M201
Bitte zusätzlich in G.R.I.P.S. anmelden, da wir Mitteilungen an die Teilnehmer über G.R.I.P.S. versenden.

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Kriterien für benotete und unbenotete Leistungsnachweise

Siehe kommentiertes Vorlesungsverzeichnis.
Bernd Ammann, 06.02.2020
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